Aralarında Asal Sayılar

Merhaba Melek hanım,

55 ile 2 basamaklı aralarında asal olan sayıları bulmak için öncelikle 55'in asal çarpanlarını belirlemek gerekir. 55 = 5 × 11 olduğundan, 55'in asal çarpanları 5 ve 11'dir. İki sayının aralarında asal olması için ortak asal bölenlerinin olmaması gerekir. Bu durumda, 55 ile aralarında asal olan 2 basamaklı sayılar, 5 veya 11 ile bölünmeyen sayılardır.

10'dan 99'a kadar olan 2 basamaklı sayılar arasında, 5 veya 11 ile bölünenleri çıkarırsak, aralarında asal olanları buluruz. İşlem adımlarını şöyle özetleyebiliriz:

Toplam 2 basamaklı sayılar: 99 - 10 + 1 = 90 sayı.

5 ile bölünenler: 10, 15, 20, ..., 95. Bu bir aritmetik dizi: İlk terim 10, son terim 95, artış miktarı 5. Terim sayısı = ((95 - 10) / 5) + 1 = 18 sayı.

11 ile bölünenler: 11, 22, 33, ..., 99. İlk terim 11, son terim 99, artış miktarı 11. Terim sayısı = ((99 - 11) / 11) + 1 = 9 sayı.

Hem 5 hem 11 ile bölünenler (yani 55 ile bölünenler): 55. Sadece 1 sayı (55), ancak 55 kendisiyle aralarında asal değildir ve zaten 2 basamaklı sayılar içinde 55 tek örnek. Fakat bu, 5 ve 11'in ortak katları olarak 55'i saydığımızda kesişim kümesini verir.

Küme teorisine göre:
- 5 veya 11 ile bölünen sayıların toplamı = (5 ile bölünenler) + (11 ile bölünenler) - (hem 5 hem 11 ile bölünenler) = 18 + 9 - 1 = 26 sayı.

Bu 26 sayı, 55 ile aralarında asal olmayan 2 basamaklı sayılardır. Dolayısıyla, aralarında asal olanlar = 90 - 26 = 64 sayı.

Sonuç olarak, 55 ile aralarında asal olan 2 basamaklı sayılar 64 tanedir. Bu sayılar, 5 veya 11 ile bölünmeyen 10'dan 99'a kadar olan tüm 2 basamaklı sayılardır. Örnek olarak: 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 76, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98.

Merhaba Tuana Hanım,

21 ile 25 sayılarının aralarında asal olup olmadığını inceleyelim:

1. Aralarında asal nedir?
İki veya daha fazla sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.

2. 21 ve 25'in asal çarpanları:
- 21 = 3 × 7
- 25 = 5 × 5

3. Ortak bölen kontrolü:
Her iki sayının çarpanlarında ortak bir asal sayı bulunmuyor. Bu nedenle 1'den başka ortak bölenleri yoktur.

Sonuç:
Evet, 21 ve 25 aralarında asaldır.

Merhaba Şeyma hanım,

19 ile 12 sayılarının asal olup olmadığını kontrol edelim:

- Asal sayı nedir? Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisiyle bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır.
- 19'un asal olup olmadığı: 19, sadece 1 ve 19'a bölünebilir, bu yüzden asal bir sayıdır.
- 12'nin asal olup olmadığı: 12, 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'ye bölünebilir, bu nedenle asal değildir.
- Sonuç: 19 asal bir sayıdır, ancak 12 asal değildir. Dolayısıyla, "19 sayısı ile 12 sayısı arasında asal değildir" ifadesi, 12'nin asal olmadığını doğru bir şekilde belirtiyor.

Eğer başka bir konuda yardıma ihtiyacınız olursa, buradayım!

Asal Olmayan Sayılar
48 ile aralarında asal olan ve iki basamaklı en küçük asal olmayan dört sayı şunlardır: 10, 14, 22 ve 26. Bu sayılar 48 ile aralarında asal olsalar da asal değillerdir. Başka bir deyişle, bu sayılar 48 ile ortak bir böleni yoktur ve ayrıca asal sayı kurallarına da uymazlar. Eğer daha fazla bilgi istersen, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım.

Asal Sayılar Nedir?
Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisi dışında hiçbir pozitif böleni olmayan sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılar asal sayılardır.

15 ile Arasında Asal Olan Sayılar
15 ile 1 arasındaki asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13'tür. Bu sayılar, 15 ile arasındaki asal sayılar olarak kabul edilir.

Önemli Not
Asal sayılar, matematikte önemli bir yere sahiptir ve genellikle sayı teorisi çalışmalarında sıkça gündeme gelir. Aralarında asal olan sayılar, sayıların bölünebilme özellikleri üzerine birçok ilginç özellik barındırır.

İki asal iki basamaklı sayı belirlemek için öncelikle asal sayıları inceleyelim. İki basamaklı asal sayılar şunlardır: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Şimdi, bu sayılardan biri "ab" ve diğeri "cd" olmak üzere iki farklı asal sayıyı seçelim. "cd" sayısının bir çift sayı olması gerektiği belirtilmiş. Bu durumda "cd" sayısı 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98 gibi iki basamaklı çift sayılar arasında asal olanları seçmemiz gerekecek.

İki basamaklı çift asal sayılar şunlardır: 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98.

Ancak bu sayılardan yalnızca 22, 42, 62 ve 82 asal sayılardır.

Sonuç olarak, "ab" ve "cd" olarak belirlenen asal sayılar, farklı rakamlara sahip ve "cd" sayısının iki basamaklı bir çift sayı olduğu koşulunu sağladığında cevap şu şekildedir:

"ab" = 23, "cd" = 42 (bu durum uygun bir örnek olarak seçilmiştir).

Dolayısıyla cevap 23 ve 42'dir.

Merhaba Mehmet Bey,

30 ile aralarında asal olan fakat asal sayı olmayan sayılar, 1'den büyük ve 30 ile ortak böleni 1 olan, ancak kendisi asal olmayan pozitif tam sayılardır. Öncelikle, 30'un asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Dolayısıyla, 30 ile aralarında asal olmak için bir sayının bu çarpanlardan hiçbirini içermemesi gerekir.

Aralarında asal olan sayılar, 30'un asal çarpanlarından (2, 3, 5) en az birini içermeyen sayılardır. Ancak, bu sayıların asal olmaması için kendilerinin 1'den büyük ve asal olmayan bileşik sayılar olması gerekir. İşte bu kriterlere uyan bazı örnekler:

- 1: 1, asal değildir ve 30 ile aralarında asaldır (ortak bölen 1'dir). Ancak, 1 genellikle asal veya bileşik sayı olarak kabul edilmez; bu nedenle dikkate alınabilir.
- 49: 7² şeklinde, asal değildir ve 30 ile aralarında asaldır (2, 3, 5 çarpanları yok).
- 77: 7 × 11, asal değildir ve 30 ile aralarında asaldır.
- 91: 7 × 13, asal değildir ve 30 ile aralarında asaldır.
- 121: 11², asal değildir ve 30 ile aralarında asaldır.
- 143: 11 × 13, asal değildir ve 30 ile aralarında asaldır.
- 169: 13², asal değildir ve 30 ile aralarında asaldır.

Bu sayılar, 30'un asal çarpanlarından (2, 3, 5) hiçbirini içermez ve kendileri asal olmayan bileşik sayılardır. Sonsuz sayıda böyle sayı vardır, çünkü 2, 3 ve 5 dışındaki asal çarpanların çarpımları bu koşulu sağlar. Örneğin, 7, 11, 13, 17, 19 gibi asalların kareleri veya çarpımları bu gruba girer.

Eğer belirli bir aralık (örneğin 1'den 100'e kadar) için liste isterseniz, daha detaylı bir şekilde hesaplayabilirim.

Merhaba Melis Hanım,

25 ile aralarında asal olan sayılar, 1 dışında ortak böleni olmayan pozitif tam sayılardır. 25'in asal çarpanları 5'tir (25 = 5²). Bu nedenle, 25 ile aralarında asal olan sayılar 5'e tam bölünmeyen sayılardır. Örnekler:

- 1: Her sayıyla aralarında asaldır.
- 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 26 gibi 5'in katı olmayan sayılar.

Kısacası, 5'e bölünmeyen tüm pozitif tam sayılar 25 ile aralarında asaldır.

Hayır Ayşe Hanım, 8 ile 225 aralarında asal değildir. Bunun nedeni:

Ortak bölen: İki sayının 1'den büyük ortak bir böleni vardır (5 sayısı).

Kontrol:
- 225 ÷ 5 = 45
- 8 ÷ 5 = 1.6 (tam bölünmez ama ortak bölen 5'tir çünkü 225'i böler)

Aralarında asal olması için 1'den başka ortak bölenleri olmaması gerekirdi.

Sayın Emre Bey,

15 ile 21'in aralarında asal olup olmadığını inceleyelim.

Ortak bölenleri:
15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15
21'in bölenleri: 1, 3, 7, 21
İki sayının da ortak bölenleri 1 ve 3'tür.

Aralarında asal olma koşulu:
İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak böleni olmaması gerekir. Bu durumda 15 ve 21'in 1 dışında 3 ortak böleni olduğu için aralarında asal değildir.

Sonuç olarak, 15 ile 21 aralarında asal değildir.

Feride Hanım, 20 ile 9 arasındaki asallık durumunu şöyle açıklayabilirim:

Asal Sayı Nedir?
Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisiyle bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır (örneğin 2, 3, 5, 7).

20 ve 9'un Asallığı
- 20: 1, 2, 4, 5, 10 ve 20'ye bölünebilir, bu yüzden asal değildir.
- 9: 1, 3 ve 9'a bölünebilir, bu yüzden asal değildir.

Sonuç
Her iki sayı da asal olmadığı için "20 ile 9 aralarında asal" ifadesi doğru değildir. Ancak, iki sayının "aralarında asal" olması için 1'den başka ortak böleni olmaması gerekir. 20 ve 9'un ortak böleni sadece 1 olduğundan, bu iki sayı

aralarında asaldır
.

Merhaba Eslem Hanım,

3 ve 12'nin aralarında asal olup olmadığı:
3 ve 12'nin en büyük ortak böleni (EBOB) 3'tür. EBOB'ları 1'den farklı olduğu için aralarında asal değillerdir.

2 ve 36'nın aralarında asal olup olmadığı:
2 ve 36'nın en büyük ortak böleni (EBOB) 2'dir. EBOB'ları 1'den farklı olduğu için aralarında asal değillerdir.

Kısaca, her iki sayı çifti de aralarında asal değildir.

Evet, 11 ile 13 aralarında asaldır. Çünkü her iki sayı da asal sayılar olup, 1'den başka ortak bölenleri bulunmamaktadır. Aralarında asal olma durumu, iki sayının en büyük ortak böleninin (EBOB) 1 olmasıyla belirlenir. Bu durumda, EBOB(11, 13) = 1'dir.